数据结构学习（C++）之二叉树

　　树

　　因为现实世界中存在这“树”这种结构——族谱、等级制度、目录分类等等，而为了研究这类问题，必须能够将树储存，而如何储存将取决于所需要的操作。这里有个问题，是否允许存在空树。有些书认为树都是非空的，因为树表示的是一种现实结构，而0不是自然数；我用过的教科书都是说可以有空树，当然是为了和二叉树统一。这个没有什么原则上的差别，反正就是一种习惯。

　　二叉树

　　二叉树可以说是人们假想的一个模型，因此，允许有空的二叉树是无争议的。二叉树是有序的，左边有一个孩子和右边有一个的二叉树是不同的两棵树。做这个规定，是因为人们赋予了左孩子和右孩子不同的意义，在二叉树的各种应用中，你将会清楚的看到。下面只讲解链式结构。看各种讲数据结构的书，你会发现一个有趣的现象：在二叉树这里，基本操作有计算树高、各种遍历，就是没有插入、删除——那树是怎么建立起来的？其实这很好理解，对于非线性的树结构，插入删除操作不在一定的法则规定下，是毫无意义的。因此，只有在具体的应用中，才会有插入删除操作。

　　节点结构

　　数据域、左指针、右指针肯定是必须的。除非很少用到节点的双亲，或者是资源紧张，建议附加一个双亲指针，这将会给很多算法带来方便，尤其是在这个“空间换时间”的时代。

template <class T> struct BTNode { BTNode(T data = T(), BTNode<T>* left = NULL, BTNode<T>* right = NULL, BTNode<T>* parent = NULL) : data(data), left(left), right(right), parent(parent) {} BTNode<T> *left, *right, *parent; T data; };

　　基本的二叉树类

template <class T> class BTree { public: BTree(BTNode<T> *root = NULL) : root(root) {} ~BTree() { MakeEmpty(); } void MakeEmpty() { destroy(root); root = NULL; } protected: BTNode<T> *root； private: void destroy(BTNode<T>* p) { if (p) { destroy(p->left); destroy(p->right); delete p; } } }

　　二叉树的遍历

　　基本上有4种遍历方法，先、中、后根，逐层。当初我对这个很迷惑，搞这么多干什么？到了后面才明白，这是不同的应用需要的。例如，判断两个二叉树是否相等，只要子树根节点不同，那么就不等，显然这时要用先序遍历；而删除二叉树，必须先删除左右子树，然后才能删除根节点，这时就要用后序遍历。

　　实际上，搞这么多遍历方法，根本原因是在内存中储存的树是非线性结构。对于用数组储存的二叉树，这些名目繁多的方法都是没有必要的。利用C++的封装和重载特性，这些遍历方法能很清晰的表达。

　　1. 前序遍历

public: void PreOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PreOrder(root, visit); } private: void PreOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data)) { if (p){ visit(p->data); PreOrder(p->left, visit); PreOrder(p->right, visit); } }

　　2. 中序遍历

public: void InOrder(void (*visit)(T &data) = print) { InOrder(root, visit); } private: void InOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data)) { if (p){ InOrder(p->left, visit); visit(p->data); InOrder(p->right, visit); } }

　　3. 后序遍历

public: void PostOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PostOrder(root, visit); } private: void PostOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data)) { if (p){ PostOrder(p->left, visit); PostOrder(p->right, visit); visit(p->data); } }

　　4. 层次遍历

void LevelOrder(void (*visit)(T &data) = print) { queue< BTNode<T>* > a; BTNode<T>* p = root;//记得#include<queue> while (p) { visit(p->data); if (p->left) a.push(p->left); if (p->right) a.push(p->right); if (a.empty()) break; p = a.front(); a.pop(); } } 　　附注：缺省的visit函数print如下 private: static void print(T &data) { cout << data << ' ';｝

　　5. 不用栈的非递归中序遍历

　　当有parent指针时，可以不用栈实现非递归的中序遍历，书上提到了有这种方法，但没给出例程。

public: BTNode<T>* next() { if(!current) return NULL; if (current->right) { current = current->right; while (current->left) current = current->left; } else { BTNode<T>* y = current->parent; while (y && current == y->right) {current = y; y = y->parent; } current = y; } return current; } private: BTNode<T>* current;

　　上面的函数能使current指针向前移动一个位置，如果要遍历整棵二叉树，需要使current指向中序序列的第一个节点，例如下面的成员函数：

public: void first() { current = root; while (current->left) current = current->left; }

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